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Álgebra A 62
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ÁLGEBRA A 62 UBA XXI
CÁTEDRA ESCAYOLA
7.
Dar una ecuación vectorial y una ecuación implícita para el plano que:
c) es paralelo a la recta $L=\left\{X \in \mathbb{R}^{3}: X=\lambda(1,2,-4)+(1,2,1), \lambda \in \mathbb{R}\right\}$ y contiene a los puntos $P=(2,2,1)$ y $Q=(1,2,-3)$.
c) es paralelo a la recta $L=\left\{X \in \mathbb{R}^{3}: X=\lambda(1,2,-4)+(1,2,1), \lambda \in \mathbb{R}\right\}$ y contiene a los puntos $P=(2,2,1)$ y $Q=(1,2,-3)$.
Respuesta
Como siempre, necesitamos un punto de paso + dos vectores directores paralelos al plano (y que no sean paralelos entre sí)
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Como el plano $\Pi$ es paralelo a la recta $L$, el vector director de la recta $L$ va a ser paralelo al plano. Así que podemos tomar el vector director de $L$ como uno de los vectores que necesitamos:
$\vec{v_1} = (1,2,-4)$.
Ahora, como los puntos $P=(2,2,1)$ y $Q=(1,2,-3)$ pertenecen al plano, el vector que los une va a ser paralelo al plano.
$\vec{v_2} = P - Q = (2,2,1) - (1,2,-3) = (1,0,4)$.
Perfectoooo, ya tenemos dos vectores paralelos al plano y que, además, no son paralelos entre sí (fijate que no son múltiplos)
Usando estos dos vectores y eligiendo $P$ o $Q$, el que quieras, como punto de paso, ya tenemos la ecuación vectorial:
👉 $\Pi: \lambda(1,2,-4)+\mu(1,0,4)+(2,2,1)$
Ahora, vamos a construir la ecuación implícita del plano $\Pi$.
Como vimos en las clases, para obtener la ecuación implícita necesitamos el vector normal al plano. Este lo obtenemos haciendo el producto vectorial entre los dos vectores directores que ya calculamos: $\vec{v_1}=(1,2,-4)$ y $\vec{v_2}=(1,0,4)$.
$N = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = (1,2,-4) \times (1,0,4) = (8,-8,-2)$
Como ya nos pasó en varias clases, este es un vector normal al plano, pero cualquier múltiplo también va a ser normal al plano. Te lo digo porque acá yo estoy viendo que nos quedaron todos números múltiplos de $2$, entonces puedo elegir usar también este vector normal:
$N = (4,-4,-1)$
o también podría usar el
$N = (-4,4,1)$
¿Se ve?
Con lo cual, la ecuación implícita empieza a tomar esta forma:
$-4x + 4y + z = d$
Para obtener $d$, pedimos que uno de los puntos del plano, por ejemplo $P=(2,2,1)$, pertenezca al plano:
$-4 \cdot 2 + 4 \cdot 2 + 1 = d$
$1 = d$
Una ecuación implícita de $\Pi$ es entonces...
👉 $-4x + 4y + z = 1$
Aclaro por las dudas, porque sé que es algo que en este punto a veces confunde y seguir aclarándolo creo que va a ayudar a que puedas hacer el "click". Si vos decidias usar $N = (8,-8,-2)$ te iba a quedar...
$8x - 8y - 2z = d$
Y pidiendo que P o Q cumplan la ecuación del plano llegabas a que d = -2, con lo cual la ecuación implícita te quedaba así:
$8x - 8y - 2z = -2$
Aunque esta ecuación "luzca diferente" a la que puse yo más arriba, están describiendo al mismo plano. Podés convencerte de eso graficando ambas en GeoGebra, y además, analíticamente fijate que si esta última ecuación la dividis toda por $-2$ (lo podés hacer tranquilamente, es una igualdad, podés hacer la misma operación a ambos lados), recuperás la ecuación que yo obtuve primero.
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